Question

下面關于三棱錐P-ABC的五個命題中，正確的命題有     ．①當△ABC為等邊三角形，側面與底面所成的二面角都相等時，三棱錐P-ABC為正三棱錐；②當△ABC為等邊三角形，側面都為等腰三角形時，三棱錐P-ABC為正三棱錐；③當△ABC為等邊三角形，點A在側面PBC上的射影是三角形PBC的垂心時，P-ABC為正三棱錐；④若三棱錐P-ABC各棱相等時，它的外接球半徑和高的比為3：4：⑤當三棱錐P-ABC各棱長相等時，若動點M在側面PAB內運動，且點M到面ABC的距離與點M到點P的距離相等，則M的軌跡為橢圓的一部分．

Answer 1

【答案】分析：本題綜合的考查了棱錐的結構特征、軌跡方程、二面角等知識點，要想判斷出題目中5個命題中正確的命題，我們要根據所學的定義、概念、性質，對所列的命題逐一進行判斷．
解答：解：①∵側面與底面所成的二面角都相等，故三個側面的側高均相等，
則頂點在底面上的射影到底面三邊的距離也相等，即為底面的內心，故①正確．
②顯然不對，比如三條側棱中僅有一條不與底面邊長相等的情況，
側面都是等腰三角形的三棱錐但不是正三棱錐． 故②錯誤
③當△ABC為等邊三角形，點A在側面PBC上的射影是三角形PBC的垂心時，P-ABC為正三棱錐，故③正確
④若三棱錐P-ABC各棱相等時，它的外接球半徑和高的比為3：4，故④正確
⑤當三棱錐P-ABC各棱長相等時，若動點M在側面PAB內運動，
且點M到面ABC的距離與點M到點P的距離相等，
則M到P的距離與到BC的距離之比為定值，而且介于0到1之間，由橢圓的定義，故⑤正確
故答案為：①③④⑤
點評：判斷一個三棱椎是否是正三棱錐，有兩種辦法：①底面為正三角形，側棱都相等；②底面是正三角形，頂點在底面上的射影落在底面的中心．