Question

（2013•南通二模）為穩定房價，某地政府決定建造一批保障房供給社會．計劃用1 600萬元購得一塊土地，在該土地上建造10幢樓房的住宅小區，每幢樓的樓層數相同，且每層建筑面積均為1 000平方米，每平方米的建筑費用與樓層有關，第x層樓房每平方米的建筑費用為（kx+800）元（其中k為常數）．經測算，若每幢樓為5層，則該小區每平方米的平均綜合費用為1 270元．
（每平方米平均綜合費用=

購地費用+所有建筑費用

所有建筑面積

）．
（1）求k的值；
（2）問要使該小區樓房每平方米的平均綜合費用最低，應將這10幢樓房建成多少層？此時每平方米的平均綜合費用為多少元？

Answer 1

分析：（1）求出每幢樓為5層時的所有建筑面積，算出所有建筑費，直接由每平方米平均綜合費用=

購地費用+所有建筑費用

所有建筑面積

列式求出k的值；
（2）設小區每幢為n（n∈N*）層時，每平方米平均綜合費用為f （n），同樣利用題目給出的每平方米平均綜合費用的關系式列出f （n）的表達式，然后利用基本不等式求出f （n）的最小值，并求出層數．

解答：解：（1）如果每幢樓為5層，那么所有建筑面積為10×1000×5平方米，
所有建筑費用為[（k+800）+（2k+800）+（3k+800）+（4k+800）+（5k+800）]×1000×10，所以，
1270=

16000000+[(k+800)+(2k+800)+(3k+800)+(4k+800)+(5k+800)]×1000×10

10×1000×5

，
解之得：k=50．
（2）設小區每幢為n（n∈N*）層時，每平方米平均綜合費用為f （n），由題設可知
f （n）=

16000000+[(50+800)+(100+800)+…+(50n+800)]×1000×10

10×1000×n

=

1600

n

+25n+825≥2

1600×25

+825=1 225（元）．
當且僅當

1600

n

=25n，即n=8時等號成立．
答：該小區每幢建8層時，每平方米平均綜合費用最低，此時每平方米平均綜合費用為1225元．

點評：本題考查了函數模型的選擇及應用，考查了學生的數學建模能力和計算能力，是中檔題．