Question

已知數列{a_n}的前n項和為．
（Ⅰ）證明數列為等差數列，并求數列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）設，是否存在正整數n，使得對于任意的k∈N^*，都有不等式b_k≤b_n成立？若存在，求出n的值；若不存在，請說明理由；
（Ⅲ）設T_n=|S₁|-|S₂|+…+|S_n|，求證：．

Answer 1

【答案】分析：（I）利用向量的數量積公式，可得，再寫一式，兩式相減，即可證明數列為等差數列，從而可求數列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）對于任意的k∈N^*，都有不等式b_k≤b_n成立，等價于，從而可得不等式組，即可確定存在正整數n；
（III）利用錯位相減法，求T_n，代入計算，即可證得結論．
解答：（I）證明：∵，
∴
∴
兩式相減，整理可得
∴=-1
∴數列為公差為-1的等差數列
∵a₁=-2
∴=-（n+1）
∴；
（Ⅱ）解：=（2011-n）•2^n-1
∵對于任意的k∈N^*，都有不等式b_k≤b_n成立
∴
∴
∴2009≤n≤2010
∴b_n的最大值為b₂₀₁₀=b₂₀₀₉
∴n=2010或n=2009；
（III）證明：由（I）得，，∴
∴T_n=1•2+2•2²+…+n•2ⁿ
∴2T_n=1•2²+2•2³+…+（n-1）•2ⁿ+n•2ⁿ⁺¹
兩式相減可得-T_n=2+2²+2³+…+2ⁿ-n•2ⁿ⁺¹=-（n-1）•2ⁿ⁺¹-2
∴T_n=（n-1）•2ⁿ⁺¹+2
∴=（n-2）•2^n-1+1
∵=（n-2）•2^n-1
∴
點評：本題考查等差數列的證明，考查數列的通項與求和，考查數列與不等式的聯系，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．