Question

【題目】已知函數f（x）=x3﹣3ax（a∈R）
（1）當a=1時，求f（x）的極小值；
（2）若直線x+y+m=0對任意的m∈R都不是曲線y=f（x）的切線，求a的取值范圍；

Answer 1

【答案】解：（1）∵當a=1時，f′（x）=3x2﹣3，令f′（x）=0，得x=﹣1或x=1，當f′（x）＜0，即x∈（﹣1，1）時，f（x）為減函數；當f′（x）＞0，即x∈（﹣∞，﹣1]，或x∈[1，+∞）時，f（x）為增函數．∴f（x）在（﹣1，1）上單調遞減，在（﹣∞，﹣1]，[1，+∞）上單調遞增∴f（x）的極小值是f（1）=﹣2
（2）∵f′（x）=3x2﹣3a≥﹣3a，∴要使直線x+y+m=0對任意的m∈R都不是曲線y=f（x）的切線，當且僅當﹣1＜﹣3a時成立，∴
【解析】（1）由f（x）=x3﹣3ax，得f′（x）=3x2﹣3a，當f′（x）＞0，f′（x）＜0時，分別得到f（x）的單調遞增區間、單調遞減區間，由此可以得到極小值為f（1）=﹣2．
（2）要使直線x+y+m=0對任意的m∈R都不是曲線y=f（x）的切線，只需令直線的斜率﹣1小于f（x）的切線的最小值即可，也就是﹣1＜﹣3a．
【考點精析】本題主要考查了利用導數研究函數的單調性的相關知識點，需要掌握一般的,函數的單調性與其導數的正負有如下關系： 在某個區間內，(1)如果，那么函數在這個區間單調遞增；(2)如果，那么函數在這個區間單調遞減才能正確解答此題．