Question

【題目】已知函數(shù)f（x）=|x﹣a|，g（x）=ax，（a∈R）．
（1）若函數(shù)y=f（x）是偶函數(shù)，求出符合條件的實(shí)數(shù)a的值；
（2）若方程f（x）=g（x）有兩解，求出實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（3）若a＞0，記F（x）=g（x）f（x），試求函數(shù)y=F（x）在區(qū)間[1，2]上的最大值．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵函數(shù)f（x）=|x﹣a|為偶函數(shù)，

∴對(duì)任意的實(shí)數(shù)x，f（﹣x）=f（x）成立

即|﹣x﹣a|=|x﹣a|，

∴x+a=x﹣a恒成立，或x+a=a﹣x恒成立

∵x+a=a﹣x不能恒成立

∴x+a=x﹣a恒成立，得a=0

（2）解：當(dāng)a＞0時(shí)，|x﹣a|﹣ax=0有兩解，

等價(jià)于方程（x﹣a）2﹣a2x2=0在（0，+∞）上有兩解，

即（a2﹣1）x2+2ax﹣a2=0在（0，+∞）上有兩解，

令h（x）=（a2﹣1）x2+2ax﹣a2，

因?yàn)閔（0）=﹣a2＜0，所以 ，故0＜a＜1；

同理，當(dāng)a＜0時(shí)，得到﹣1＜a＜0；

當(dāng)a=0時(shí)，f（x）=|x|=0=g（x），顯然不合題意，舍去．

綜上可知實(shí)數(shù)a的取值范圍是（﹣1，0）∪（0，1）．

（3）解：令F（x）=f（x）g（x）

①當(dāng)0＜a≤1時(shí)，則F（x）=a（x2﹣ax），

對(duì)稱軸 ，函數(shù)在[1，2]上是增函數(shù)，

所以此時(shí)函數(shù)y=F（x）的最大值為4a﹣2a2．

②當(dāng)1＜a≤2時(shí)， ，對(duì)稱軸 ，

所以函數(shù)y=F（x）在（1，a]上是減函數(shù)，在[a，2]上是增函數(shù)，F(xiàn)（1）=a2﹣a，F(xiàn)（2）=4a﹣2a2，

1）若F（1）＜F（2），即 ，此時(shí)函數(shù)y=F（x）的最大值為4a﹣2a2；

2）若F（1）≥F（2），即 ，此時(shí)函數(shù)y=F（x）的最大值為a2﹣a．

③當(dāng)2＜a≤4時(shí)，F(xiàn)（x）=﹣a（x2﹣ax）對(duì)稱軸 ，

此時(shí) ，

④當(dāng)a＞4時(shí)，對(duì)稱軸 ，此時(shí) ．

綜上可知，函數(shù)y=F（x）在區(qū)間[1，2]上的最大值

【解析】（1）根據(jù)函數(shù)為偶函數(shù)，f（﹣x）=f（x）對(duì)任意實(shí)數(shù)x恒成立，即|﹣x﹣a|=|x﹣a|任意實(shí)數(shù)x成立，去絕對(duì)值然后比較系數(shù)，可得a=0；（2）分三種情況加以討論：當(dāng)a＞0時(shí)，將方程f（x）=g（x）兩邊平方，得方程（x﹣a）2﹣a2x2=0在（0，+∞）上有兩解，構(gòu)造新函數(shù)h（x）=（a2﹣1）x2+2ax﹣a2 ， 通過討論h（x）圖象的對(duì)稱軸方程和頂點(diǎn)坐標(biāo)，可得0＜a＜﹣1；當(dāng)a＜0時(shí)，用同樣的方法得到﹣1＜a＜0；而當(dāng)a=0時(shí)代入函數(shù)表達(dá)式，顯然不合題意，舍去．最后綜合實(shí)數(shù)a的取值范圍；（3）F（x）=f（x）g（x）=ax|x﹣a|，根據(jù)實(shí)數(shù)a與區(qū)間[1，2]的位置關(guān)系，分4種情況加以討論：①當(dāng)0＜a≤1時(shí)，則F（x）=a（x2﹣ax），根據(jù)函數(shù)的單調(diào)增的性質(zhì)，可得y=F（x）的最大值為F（2）=4a﹣2a2； ②當(dāng)1＜a≤2時(shí)，化成兩個(gè)二次表達(dá)式的分段函數(shù)表達(dá)式，其對(duì)稱軸為 ，得到所以函數(shù)y=F（x）在（1，a]上是減函數(shù)，在[a，2]上是增函數(shù)，最大值決定于F（1）與F（2）大小關(guān)系．因此再討論：當(dāng) 時(shí)，y=F（x）的最大值為F（2）=4a﹣2a2；當(dāng) 時(shí)，y=F（x）的最大值為F（1）=a2﹣a；③當(dāng)2＜a≤4時(shí)，F(xiàn)（x）=﹣a（x2﹣ax），圖象開口向下，對(duì)稱軸 ，恰好在對(duì)稱軸處取得最大值： ；④當(dāng)a＞4時(shí)，F(xiàn)（x）=﹣a（x2﹣ax），圖象開口向下，對(duì)稱軸 ，在區(qū)間[1，2]上函數(shù)是增函數(shù)，故最大值為F（2）=2a2﹣4a．最后綜止所述，可得函數(shù)y=F（x）在區(qū)間[1，2]上的最大值的結(jié)論．
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了奇偶性與單調(diào)性的綜合和二次函數(shù)的性質(zhì)的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，需要掌握奇函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的區(qū)間上有相同的單調(diào)性；偶函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的區(qū)間上有相反的單調(diào)性；當(dāng)時(shí)，拋物線開口向上，函數(shù)在上遞減，在上遞增；當(dāng)時(shí)，拋物線開口向下，函數(shù)在上遞增，在上遞減才能正確解答此題．