Question

已知函數f(x)＝ax²－|x|＋2a－1(a為實常數)．
(1)若a＝1，作函數f(x)的圖象；
(2)設f(x)在區間[1，2]上的最小值為g(a)，求g(a)的表達式；
(3)設h(x)＝，若函數h(x)在區間[1，2]上是增函數，求實數a的取值范圍．

Answer 1

（1）

（2）g(a)＝（3）

(1)當a＝1時，f(x)＝x²－|x|＋1＝作圖如下．

(2)當x∈[1，2]時，f(x)＝ax²－x＋2a－1.
若a＝0，則f(x)＝－x－1在區間[1，2]上是減函數，g(a)＝f(2)＝－3.
若a≠0，則f(x)＝a＋2a－－1，f(x)圖象的對稱軸是直線x＝.
當a<0時，f(x)在區間[1，2]上是減函數，g(a)＝f(2)＝6a－3.
當0<<1，即a>時，f(x)在區間[1，2]上是增函數，g(a)＝f(1)＝3a－2.
當1≤≤2，即≤a≤時，g(a)＝f＝2a－－1.
當>2，即0<a<時，f(x)在區間[1，2]上是減函數，g(a)＝f(2)＝6a－3.
綜上可得g(a)＝
(3)當x∈[1，2]時，h(x)＝ax＋－1，在區間[1，2]上任取x₁、x₂，且x₁<x₂，
則h(x₂)－h(x₁)＝
＝(x₂－x₁)＝(x₂－x₁).
因為h(x)在區間[1，2]上是增函數，所以h(x₂)－h(x₁)>0.
因為x₂－x₁>0，x₁x₂>0，所以ax₁x₂－(2a－1)>0，
即ax₁x₂>2a－1.
當a＝0時，上面的不等式變為0>－1，即a＝0時結論成立．
當a>0時，x₁x₂>，由1<x₁x₂<4，得≤1，解得0＜a≤1.
當a<0時，x₁x₂<，由1<x₁x₂<4，得≥4，解得－≤a＜0.
所以實數a的取值范圍為