Question

已知a＞0，b∈R，函數f（x）=4ax³-2bx-a+b．
（Ⅰ）證明：當0≤x≤1時，
（i）函數f（x）的最大值為|2a-b|+a；
（ii）f（x）+|2a-b|+a≥0；
（Ⅱ）若-1≤f（x）≤1對x∈[0，1]恒成立，求a+b的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）（ⅰ）求導函數，再分類討論：當b≤0時，f′（x）＞0在0≤x≤1上恒成立，此時最大值為：f（1）=|2a-b|﹢a；當b＞0時，在0≤x≤1上的正負性不能判斷，此時最大值為：f（x）_max=max{f（0），f（1）}=|2a-b|﹢a，由此可得結論；（ⅱ） 利用分析法，要證f（x）+|2a-b|+a≥0，即證g（x）=-f（x）≤|2a-b|﹢a．亦即證g（x）在0≤x≤1上的最大值小于（或等于）|2a-b|﹢a．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知：函數在0≤x≤1上的最大值為|2a-b|﹢a，且函數在0≤x≤1上的最小值比-（|2a-b|﹢a）要大．根據-1≤f（x）≤1對x∈[0，1]恒成立，可得|2a-b|﹢a≤1，從而利用線性規劃知識，可求a+b的取值范圍．
解答：（Ⅰ）證明：（ⅰ）f′（x）=12a（x²-）
當b≤0時，f′（x）＞0，在0≤x≤1上恒成立，此時最大值為：f（1）=|2a-b|﹢a；
當b＞0時，在0≤x≤1上的正負性不能判斷，此時最大值為：f（x）_max=max{f（0），f（1）}=|2a-b|﹢a；
綜上所述：函數在0≤x≤1上的最大值為|2a-b|﹢a；
（ⅱ） 要證f（x）+|2a-b|+a≥0，即證g（x）=-f（x）≤|2a-b|﹢a．
亦即證g（x）在0≤x≤1上的最大值小于（或等于）|2a-b|﹢a，
∵g（x）=-4ax³+2bx+a-b，∴令g′（x）=-12ax²+2b=0，
當b≤0時，；g′（x）＜0在0≤x≤1上恒成立，
此時g（x）的最大值為：g（0）=a-b＜3a-b=|2a-b|﹢a；
當b＞0時，g′（x）在0≤x≤1上的正負性不能判斷，
∴g（x）_max=max{g（），g（1）}≤|2a-b|﹢a；
綜上所述：函數g（x）在0≤x≤1上的最大值小于（或等于）|2a-b|﹢a．
即f（x）+|2a-b|+a≥0在0≤x≤1上恒成立．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知：函數在0≤x≤1上的最大值為|2a-b|﹢a，且函數在0≤x≤1上的最小值比-（|2a-b|﹢a）要大．
∵-1≤f（x）≤1對x∈[0，1]恒成立，
∴|2a-b|﹢a≤1．
取b為縱軸，a為橫軸，則可行域為：或，目標函數為z=a+b．
作圖如右：
由圖易得：a+b的取值范圍為（-1，3]
點評：本題考查導數知識的運用，考查函數的單調性，考查函數的最值，考查不等式的證明，綜合性，難度大．