Question

（本大題滿分12分）已知函數在R上有定義，對任何實數和任何實數，都有

（Ⅰ）證明；（Ⅱ）證明 其中和均為常數；

（Ⅲ）當（Ⅱ）中的時，設，討論在內的單調性并求極值

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）同解析（Ⅱ）同解析

（Ⅲ）當時， 是單調遞減函數；當時， 是單調遞增函數；當時，函數在內取得極小值，極小值為

【解析】證明（Ⅰ）令，則，∵，∴。

（Ⅱ）①令，∵，∴，則。

假設時，，則，而，∴，即成立。

②令，∵，∴，

假設時，，則，而，∴，即成立。∴成立。

（Ⅲ）當時，，

令，得；

當時，，∴是單調遞減函數；

當時，，∴是單調遞增函數；

所以當時，函數在內取得極小值，極小值為