Question

（1）選修4-2：矩陣與變換
已知矩陣A=

3 3 c d

，若矩陣A屬于特征值6的一個特征向量為

a1

=

1 1

，屬于特征值1的一個特征向量為

a2

=

3 -2

，求矩陣A．
（2）選修4-4：坐標與參數方程
以直角坐標系的原點為極點，x軸正半軸為極軸，并在兩種坐標系中取相同的長度單位．已知直線l的極坐標方程為psin（θ-

π

3

）=6，圓C的參數方程為

x=10cosθ y=10sinθ

，（θ為參數），求直線l被圓C截得的弦長．
（3）選修4-5：不等式選講
已知實數a，b，c，d滿足a+b+c+d=3，a²+2b²+3c²+6d²=5試求a的最值．

Answer 1

分析：（1）依題意得

A a1 =6 a1 A a2 = a2

，得到關于c，d的方程組，即可求得矩陣A；
（2）先將曲線的參數方程化成普通方程，再利用圓的幾何性質，結合點到直線的距離公式即可求得直線l被圓截得的弦長．
（3）首先分析題目已知a²+2b²+3c²+6d²=5，可以考慮到柯西不等式的應用，建立關于a的不等關系后，再根據不等式的解法即可．

解答：解：（1）依題意得

A a1 =6 a1 A a2 = a2

，即

3 3 c d 1 1 =6 1 1 3 3 c d 3 -2 = 3 -2

所以

c+d=6 3c-2d=-2

解得

c=2 d=4

∴A=

3 3 2 4

（2）由ρsin（θ-

π

3

）=ρ（

1

2

sinθ-

3

2

cosθ）=6，∴y-

3

x=12
將圓的參數方程化為普通方程為x²+y²=10圓心為C（0，0），半徑為10．
∴點C到直線的距離為d=

12

3+1

=6，
直線l被圓截得的弦長為2

10 2-6 2

=16
（3）由柯西不等式得，有(2b2+3c2+6d2)(

1

2

+

1

3

+

1

6

)≥(b+c+d)2
即2b²+3c²+6d²≥（b+c+d）²，由條件可得，5-a²≥（3-a）²
解得，1≤a≤2，代入b=1，c=

1

3

，d=

1

6

時，a_max=2；b=1，c=

2

3

，d=

1

3

時，a_min=1

點評：本題主要考查了二階矩陣、考查圓的參數方程、參數方程的概念、直線與圓相交的性質、不等式的證明問題，其中涉及到柯西不等式和基本不等式的應用問題，有一定的技巧性，需要同學們對兩種不等式非常熟練，屬于中檔題目．