Question

【題目】已知橢圓C：經過定點，其左右集點分別為，且，過右焦且與坐標軸不垂直的直線l與橢圈交于P，Q兩點.

（1）求橢圓C的方程：

（2）若O為坐標原點，在線段上是否存在點，使得以，為鄰邊的平行四邊形是菱形？若存在，求出m的取值范圍；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）（2）存在，m的取值范圍為

【解析】

（1）由橢圓的定義可求出a的值，再把點E的坐標代入橢圓方程，即可求出b的值，從而得到橢圓C的方程；

（2）先設點P，Q的坐標以直線l的方程，與橢圓方程聯立，利用韋達定理得到P，Q橫坐標的和與積，再利用菱形的對角線垂直得到向量數量為0，將坐標代入后化簡得到m與k的關系式，可求出m的取值范圍.

解：（1）∵點E在橢圓上，且，

∴，，

又∵定點在橢圓上，∴，

∴，

∴橢圓C的方程為：；

（2）假設存在點滿足條件，設，，直線l的方程為：，

聯立方程，消去y得：，

∴，，，

又，，，

∴，

由題意知.

，

∵，∴，

即，

則，

∴，

∴，

故存在點，使得以，為鄰邊的平行四邊形是菱形，m的取值范圍為.