Question

（本小題16分）已知各項均為實數的數列{a_n}是公差為d的等差數列，它的前n項和

為S_n，且滿足S₄＝2S₂＋8. 

（I）求公差d的值；

（II）若數列{a_n}的首項的平方與其余各項之和不超過10，則這樣的數列至多有多少項；

（III）請直接寫出滿足（2）的項數最多時的一個數列（不需要給出演算步驟）.

Answer 1

解答

（1）d＝2；……………………………………………………………………………………………4分

（2）考慮到d＝2，且首項的平方與其余各項之和不超過10，所以可用枚舉法研究.

①當a₁＝0時， 0²＋d＋2d＝0＋2＋4≤10，而0²＋d＋2d＋3d＝0＋2＋4＋6＞10，此時，數列至多3項；

              ………………………………………………………………………………6分

②當a₁＞0時，可得數列至多3項；…………………………………………………………9分

③當a₁＜0時，a₁²＋a₁＋d＋a₁＋2d＋a₁＋3d≤10，即a₁²＋3a₁＋2≤0，此時a₁有解.

而a₁²＋a₁＋d＋a₁＋2d＋a₁＋3d＋a₁＋4d≤10，即a₁²＋4a₁＋10≤0，此時a₁無解.

所以a₁＜0時，數列至多有4項. ………………………………………………………………………12分

（3）a₁＝－1時，數列為：－1，1，3，5；或a₁＝－2時，數列為：－2，0，2，4. …………………16分