Question

(14分)設橢圓的左、右焦點分別為，上頂點為，在軸負半軸上有一點，滿足，且.

（Ⅰ）求橢圓的離心率；
（Ⅱ）D是過三點的圓上的點，D到直線的最大距離等于橢圓長軸的長，求橢圓的方程；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，過右焦點作斜率為的直線與橢圓交于兩點，在軸上是否存在點使得以為鄰邊的平行四邊形是菱形，如果存在，求出的取值范圍，如果不存在，說明理由.

Answer 1

（Ⅰ） ；（Ⅱ）.（Ⅲ）．

解析試題分析：(I) B（x₀，0）,根據，且,可得,
據此可得，所以離心率.
(II)在（I）的基礎上由離心率可知,可用a表示△的外接圓圓心和半徑，再根據
圓心到直線的距離為，建立關于a的方程求出a的值，橢圓方程為.
(III)直線方程與橢圓方程聯立消y得,下一步解題的關鍵是把借助韋達定理轉化為關于k,m的方程，從而可用k表示m,再利用函數的方法求出m的取值范圍.
（Ⅰ）設B（x₀，0），由（c，0），A（0，b），
知 
，
由于 即為中點．
故
，  
故橢圓的離心率 
（Ⅱ）由（1）知得于是（，0）, B，
△的外接圓圓心為（，0），半徑r=||=,
D到直線的最大距離等于，所以圓心到直線的距離為，
所以，解得=2，∴c =1，b=，
所求橢圓方程為.                         ------------------8分
（Ⅲ）由（2）知, ：
          代入得  
設，
則，     ------------------10分

由于菱形對角線垂直，則
故,則
               ------------------12分
由已知條件知且 
    
故存在滿足題意的點P且的取值范圍是