Question

設不等式組所表示的平面區域為D_n,記D_n內的格點(格點即橫坐標和縱坐標均為整數的點)個數為f(n)(n∈N^*).

(1)求f(1)、f(2)的值及f(n)的表達式;

(2)記T_n=,若對于一切正整數n,總有T_n≤m成立,求實數m的取值范圍;

(3)設S_n為數列{b_n}的前n項和,其中b_n=2^f(n),問是否存在正整數n、t,使＜成立?若存在,求出正整數n,t;若不存在,請說明理由.

Answer 1

解：(1)由題意,作圖易得f(1)=3,f(2)=6.

一般地,由x＞0,y＞0,y≤-nx+3n,得0＜x＜3.

又x∈N^*,∴x=1,x=2.

∴D_n內的整點在直線x=1和x=2上.

記直線y=-nx+3n為l,l與直線x=1和x=2的交點的縱坐標分別為y₁、y₂,

則y₁=-n+3n=2n,y₂=-2n+3n=n.

∴f(n)=3n(n∈N^*).

(2)由(1),得T_n=.

∴T_n+1-T_n=-=.

∴當n≥3時,T_n+1＜T_n,且T₁=9＜T₂=T₃=.

于是T₂,T₃是T_n的最大項,故m≥T₂=.

(3)假設存在正整數n、t,使得上面的不等式成立,

由(1),有b_n=8ⁿ,

∴S_n=.

不等式＜,即＜,

解得1＜8ⁿ(8-7t)＜15.

∴n=t=1,

即存在正整數n=1,t=1,使＜成立.