Question

已知函數
（1）試求函數f（x）的單調遞增區間；
（2）若函數f（x）在x=2處有極值，且f（x）圖象與直線y=4x有三個公共點，求b的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）先求導函數，討論a的正負，然后解f'（x）＞0的解集，從而求出函數的單調遞增區間；
（2）先根據極值求出a的值，令，然后利用導數求出函數的兩個極值點，要使f（x）圖象與y=4x有三個公共點，只需極大值大于0，極小值小于0，建立關系式，即可求出b的范圍．
解答：解：（1）f'（x）=ax²-x-2a
當a=0時，f'（x）=-x＞0⇒x＜0
當a≠0時，△=1+8a²＞0，方程f'（x）=0有不相等的兩根為
1°當a＞0時，或
2°當a＜0時，
綜上：當a=0時，f（x）在（-∞，0）上遞增
當a＞0時，f（x）在，上遞增
當a＜0時，f（x）在上遞增
（2）∵f（x）在x=2處有極值，∴f'（2）=0，∴a=1
令
∴g'（x）=x²-x-6=0⇒x=-2或3g'（x）＞0⇒x＜-2或x＞3g'（x）＜0⇒-2＜x＜3
∴g（x）在x=-2處有極大值，在x=3處有極小值
要使f（x）圖象與y=4x有三個公共點
則，即b的取值范圍為
點評：本題主要考查了利用導數研究函數的單調性，以及函數在某點取得極值的條件和函數圖象的交點問題，同時考查了計算能力，轉化的數學思想，屬于中檔題．