Question

已知函數．
（1）求的單調區間；
（2）若在上恒成立，求所有實數的值；
（3）對任意的，證明：

Answer 1

（1）當時，，減區間為；當時，遞增區間為，遞減區間為；（2）；（3）詳見解析.

試題分析：（1）利用導數判斷函數的單調性，就是在定義域內考慮 導函數的符號，先求導函數得，，令，得，討論根與定義域的關系，當時，，減區間為；當時，將定義域分段，分別考慮導函數的符號，即得函數的單調區間；（1）只需函數的最大值小于等于0即可，由（1）得，當時，減區間為，且，故不滿足；當時，，記，可求得，故，故；（3）由（2）得，當且僅當時，恒成立，即，又，結合起來證明即可.
試題解析：（1），                   1分
當時，，減區間為                           2分
當時，由得，由得               3分
∴遞增區間為，遞減區間為                           4分
（2）由（1）知：當時，在上為減區間，而
∴在區間上不可能恒成立                           5分
當時，在上遞增，在上遞減，
，令，                6分
依題意有，而，且
∴在上遞減，在上遞增，
∴，故                           9分
（3）由（2）知：時，且恒成立
即恒成立
則
                  11分
又由知在上恒成立，
∴        13分
綜上所述：對任意的，證明：                     14分