Question

【題目】如圖，在長方體ABCD﹣A′B′C′D′中，AB=2，AD=1，AA′=1．證明直線BC′平行于平面D′AC，并求直線BC′到平面D′AC的距離．

Answer 1

【答案】解：解法一：因為ABCD﹣A′B′C′D′為長方體，故AB∥C′D′，AB=C′D′，
故ABC′D′為平行四邊形，故BC′∥AD′，顯然BC′不在平面D′AC內，
于是直線BC′平行于平面D′AC．
直線BC′到平面D′AC的距離即為點B到平面D′AC的距離，設為h，
考慮三棱錐D′﹣ABC的體積，以ABC為底面，可得三棱錐D′﹣ABC的體積為V= （ ）= ，
而△AD′C中，AC=D′C= ，AD′= ，故△CAD′的底邊AD′上的高為 ，
故△CAD′的面積S△CAD′= = ，
所以，V= = h= ，即直線BC′到平面D′AC的距離為 ．
解法二：以D′A′所在的直線為x軸，以D′C′所在的直線為y軸，以D′D所在的直線為z軸，
建立空間直角坐標系．
則由題意可得，點A（1，0，1 ）、B（1，2，1）、C（0，2，1）、C′（0，2，0）、D′（0，0，0）．
設平面D′AC的一個法向量為 =（u，v，w），則由 ⊥ ， ⊥ ，可得 ， ．
∵ =（1，0，1）， =（0，2，1），∴ ，解得 ．
令v=1，可得 u=2，w=﹣2，可得 =（2，1，﹣2）．
由于 =（﹣1，0，﹣1），∴ =﹣0，故有 ⊥ ．
再由BC′不在平面D′AC內，可得直線BC′平行于平面D′AC．
由于 =（1，0，0），可得點B到平面D′AC的距離d= = = ，
故直線BC′到平面D′AC的距離為 ．
【解析】解法一：證明ABC′D′為平行四邊形，可得BC′∥AD′，再利用直線和平面平行的判定定理證得直線BC′平行于平面D′AC． 所求的距離即點B到平面D′AC的距離，設為h，再利用等體積法求得h的值．
解法二：建立空間直角坐標系，求出平面D′AC的一個法向量為 =（2，1，﹣2），再根據 =﹣0，可得 ⊥ ，可得直線BC′平行于平面D′AC．求出點B到平面D′AC的距離d= 的值，即為直線BC′到平面D′AC的距離．
【考點精析】關于本題考查的直線與平面平行的判定，需要了解平面外一條直線與此平面內的一條直線平行，則該直線與此平面平行；簡記為：線線平行，則線面平行才能得出正確答案．