Question

【題目】設(shè)是函數(shù)定義域的一個(gè)子集，若存在，使得成立，則稱是的一個(gè)“準(zhǔn)不動(dòng)點(diǎn)”，也稱在區(qū)間上存在準(zhǔn)不動(dòng)點(diǎn)，已知，.

（1）若，求函數(shù)的準(zhǔn)不動(dòng)點(diǎn)；

（2）若函數(shù)在區(qū)間上存在準(zhǔn)不動(dòng)點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】

（1）由題意，當(dāng)時(shí)，可得，，可解得函數(shù)的準(zhǔn)不動(dòng)點(diǎn)．

（2）依在區(qū)間上存在準(zhǔn)不動(dòng)點(diǎn)，可得在上有根．通過分離變量，可轉(zhuǎn)化為，令，只需求出在上的值域，即可得，最后根據(jù)在上恒成立，解得，取交集得實(shí)數(shù)的最終范圍．

（1）由題意，可得，

即，，．

故當(dāng)，函數(shù)的準(zhǔn)不動(dòng)點(diǎn)為．

（2）由題意知，即在上有根，

變形為，令，而在上單調(diào)遞增，所以，即，所以．

又在上恒成立，所以．令，而在上單調(diào)遞減，所以，即有，

綜上，，即實(shí)數(shù)的取值范圍為．