Question

如圖，平面α⊥平面β，A∈α，B∈β，AB與平面α所成的角為

π

4

，過A、B分別作兩平面交線的垂線，垂足為A′、B′，若AB=3A'B'，則AB與平面β所成的角的正弦值是（　　）

A． 14 6

B． 5 5

C． 22 6

D． 3 3

Answer 1

連接AB‘，BA’，
∵平面α⊥平面β，A∈α，B∈β，AB與平面α所成的角為

π

4

，
過A、B分別作兩平面交線的垂線，垂足為A′、B′，
∴∠B′AB=

π

4

，AA′⊥β，BB′⊥α，∠ABA′是AB與平面β所成的角，
設A′B′=a，∵AB=3A'B'，∴AB=3a，
設AB′=BB′=x，則2x²=9a²，解得AB′=BB′=

3 2

2

a，
∴A′B=

9a2 2 +a2

=

22

2

a，AA′=

9a2- 11 2 a2

=

14

2

a，
∴sin∠ABA′=

14 2 a

3a

=

14

6

．
故選A．