Question

【題目】在數列{an}中，a1+2a2++22a3+…2n﹣1an=（n2n﹣2n+1）t對任意n∈N*成立，其中常數t＞0．若關于n的不等式 + + +…+ ＞ 的解集為{n|n≥4，n∈N*}，則實數m的取值范圍是 ．

Answer 1

【答案】[ ）
【解析】解：當n≥2時，a1+2a2++22a3+…2n﹣1an=（n2n﹣2n+1）t…①

得a1+2a2++22a3+…2n﹣2an﹣1=[（n﹣1）2n﹣1﹣2n﹣1+1）t…②

將①，②兩式相減，得 2n﹣1 an=（n2n﹣2n+1）t﹣[（n﹣1）2n﹣1﹣2n﹣1+1]t，

化簡，得an=nt，其中n≥2．…（5分）

因為a1=t，所以an=nt，其中n∈N*．

∴ ．

∴ + + +…+ = =

又∵ ，則關于n的不等式 + + +…+ ＞ 化簡為 ．

當t＞0時，考察不等式為 ．的解，

由題意，知不等式1﹣ ＞m的解集為{n|n≥4，n∈N*}，

因為函數y=1﹣ 在R上單調遞增，所以只要求1﹣ 且1﹣ ≤m即可，∴ ．

所以，實數m的取值范圍是[ ）．

所以答案是：[ ）．