Question

已知函數 , .  
（Ⅰ）當時，求曲線在點處的切線方程；
（Ⅱ）當時，求函數的單調區間；
（Ⅲ）當時，函數在上的最大值為，若存在，使得成立，求實數b的取值范圍.

Answer 1

（Ⅰ）曲線在點處的切線方程。
（Ⅱ）函數的遞增區間為，遞減區間為。
（Ⅲ）的取值范圍是.

試題分析：（Ⅰ）當時，           1分
                            .2分
所以曲線在點處的切線方程            3分
（Ⅱ）     4分
當時，解，得，解，得
所以函數的遞增區間為，遞減區間為在            5分
時，令得或
ⅰ）當時，

x	)
f’(x)	+		-		+
f(x)	增		減		增

        6分
函數的遞增區間為，，遞減區間為        7分
ⅱ）當時， 
在上，在上                      8分
函數的遞增區間為，遞減區間為                9分
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，當時，在上是增函數，在上是減函數，
所以，                                     11分
存在，使       即存在，使，
方法一：只需函數在[1，2]上的最大值大于等于 
所以有      即解得：        13分
方法二：將 整理得 
從而有所以的取值范圍是.              13分
點評：中檔題，本題屬于導數應用中的常見問題，通過研究函數的單調性，明確最值情況。曲線切線的斜率，等于函數在切點處的導函數值。在給定區間，如果函數的導數非負，則函數為增函數，如果函數的導數非正，則函數為減函數。涉及不等式恒成立問題，往往通過構造函數，研究函數的最值，得到確定參數（范圍）的目的。對數函數要注意其真數大于0.