Question

【題目】定義在R上的函數f（x），f′（x）是其導數，且滿足f（x）+f′（x）＞2，ef（1）=2e+4，則不等式exf（x）＞4+2ex（其中e為自然對數的底數）的解集為（ ）
A.（1，+∞）
B.（﹣∞，0）∪（1，+∞）
C.（﹣∞，0）∪（0，+∞）
D.（﹣∞，1）

Answer 1

【答案】A
【解析】解：設g（x）=exf（x）﹣2ex ， （x∈R），
則g′（x）=exf（x）+exf′（x）﹣2ex=ex[f（x）+f′（x）﹣2]，
∵f（x）+f′（x）＞2，
∴f（x）+f′（x）﹣2＞0，
∴g′（x）＞0，
∴y=g（x）在定義域上單調遞增，
∵exf（x）＞2ex+4，
∴g（x）＞4，
又∵g（1）=ef（1）﹣2e=4，
∴g（x）＞g（1），
∴x＞1，
故選：A．
【考點精析】認真審題，首先需要了解利用導數研究函數的單調性(一般的,函數的單調性與其導數的正負有如下關系： 在某個區間內，(1)如果，那么函數在這個區間單調遞增；(2)如果，那么函數在這個區間單調遞減)．