Question

已知向量a=（cosα，sinα），b=（cosβ，sinβ），且a，b滿足|ka+b|=

3

|a-kb|（k＞0），
（1）求a與b的數量積用k表示的解析式f（k）；
（2）a能否和b垂直？a能否和b平行？若不能，請說明理由；若能，請求出相應的k值；
（3）求向量a與向量b的夾角的最大值．

Answer 1

（1）由題，|

a

|=|

b

|=1且|k

a

+

b

|=

3

|

a

-k

b

|，
所以(k

a

+

b

)2=3(

a

-k

b

)2，
化簡可得4k

a

•

b

=k2+1，
∴f(k)=

a

•

b

=

k2+1

4k

(k＞0)；
（2）若

a

⊥

b

，則

a

•

b

=

k2+1

4k

=0，而

k2+1

4k

=0無解，因此

a

和

b

不可能垂直；
若

a

∥

b

，則|

a

•

b

|=|

a

||

b

|即

k2+1

4k

=1，解得k=2±

3

，
綜上，

a

和

b

不可能垂直；
當

a

和

b

平行時，k=2±

3

；
（3）設

a

與

b

夾角為θ，
則cosθ=

a • b

| a || b |

=

k2+1

4k

=

k

4

+

1

4k

=(

k

2

)2+(

1

2 k

)2
=(

k

2

-

1

2 k

)2+

1

2

≥

1

2

因此，當且僅當

k

2

=

1

2 k

即k=1時，cosθ有最小值為

1

2

，此時，向量

a

與

b

的夾角有最大值為60°．