Question

如圖，在三棱柱BCD-B₁C₁D₁與四棱錐A-BB₁D₁D的組合體中，已知BB₁⊥平面BCD，四邊形ABCD是平行四邊形，∠ABC=120°，AB=2，AD=4，BB₁=1．
設O是線段BD的中點．
（1）求證：C₁O∥平面AB₁D₁；
（2）證明：平面AB₁D₁⊥平面ADD₁．

Answer 1

分析：（1）取B₁D₁的中點E，連接C₁E，OA，易證C₁EAO為平行四邊形，從而得而C₁O∥EA，利用線面平行的判定定理即可；
（2）可根據∠ABC=120°，AB=2，AD=4，證得∠ABD=

π

2

，即BD⊥AD，進一步可證BD⊥DD₁，從而證得BD⊥平面ADD₁，BD∥B₁D₁，于是得B₁D₁⊥平面ADD₁，利用面面垂直的判定定理可得結論．

解答：（1）證明：取B₁D₁的中點E，連接C₁E，OA，則A，O，C共線，且C₁E=OA，--（1分）
∵BCD-B₁C₁D₁為三棱柱，
∴平面BCD∥平面B₁C₁D₁，
故C₁E∥OA，----（3分）
∴C₁EAO為平行四邊形，
從而C₁O∥EA．-----------（5分）
又∵C₁O?平面AB₁D₁，EA?平面AB₁D₁，
∴C₁O∥平面AB₁D₁．----------（7分）
（2）證明：∵∠ABC=120°，AB=2，AD=4，
∴BD=

4+16-2×2×4cos600

=2

3

，
∴AD²=16=AD²+BD²，∠ABD=

π

2

，
即BD⊥AD，----------（10分）
又BB₁⊥平面BCD，BD?平面BCD，BB₁⊥BD，
在三棱柱BCD-B₁C₁D₁中，BB₁∥DD₁，則BD⊥DD₁，
而DD₁∩AD=D，
∴BD⊥平面ADD₁，-------（12分）
又BD∥B₁D₁，得B₁D₁⊥平面ADD₁，
而B₁D₁?平面AB₁D₁，
∴平面AB₁D₁⊥平面ADD₁．--------（14分）

點評：本題考查平面與平面垂直的判定與直線與平面平行的判定，著重考查面面垂直與線面平行的判定定理的應用，注意使用定理的嚴謹性，屬于難題．