Question

如圖：是y=f（x）=

a

3

x³-2x²+3a²x的導函數y=f′（x）的簡圖，它與x軸的交點是（1，0）和（3，0）
（1）求y=f（x）的極小值點和單調減區間
（2）求實數a的值．

Answer 1

分析：（1）先利用其導函數f'（x）圖象，判斷導函數值的正負來求其單調區間，進而求得其極值．（注意是在定義域內研究其單調性）
（2）由圖知，f'（1）=0且f'（3）=0，代入導函數解析式得到關于a的方程，解出即可．

解答：解：（1）由f（x）=

a

3

x³-2x²+3a²x的導函數y=f'（x）的圖象可知：導函數f'（x）小于0的解集是（1，3）；
函數f（x）=

a

3

x³-2x²+3a²x在x=1，x=3處取得極值，且在x=3的左側導數為負右側導數為正．
即函數在x=3處取得極小值，函數的單調減區間為（1，3）．
（2）由于f（x）=

a

3

x³-2x²+3a²x的導函數f'（x）=ax²-4x+3a²，又由（1）知，f'（1）=0且f'（3）=0
則

f′(1)=a-4+3a2=0 f′(3)=9a-12+3a2=0

解得 a=1．
則實數a的值為1．

點評：本題主要考查利用導數研究函數的極值以及函數的單調性，利用導數研究函數的單調性，求解函數的單調區間、極值、最值問題，是函數這一章最基本的知識，也是教學中的重點和難點，學生應熟練掌握．