Question

（2012•虹口區二模）如圖，平面直角坐標系中，射線y=x（x≥0）和y=0（x≥0）上分別依次有點A₁、A₂，…，A_n，…，和點B₁，B₂，…，B_n…，其中A1

1，1

，B1

1，0

，B2

2，0

．且|OAn|=|OAn-1|+

2

，|BnBn+1|=

1

2

|Bn-1Bn|（n=2，3，4…）．
（1）用n表示|OA_n|及點A_n的坐標；
（2）用n表示|B_nB_n+1|及點B_n的坐標；
（3）寫出四邊形A_nA_n+1B_n+1B_n的面積關于n的表達式S（n），并求S（n）的最大值．

Answer 1

分析：（1）由|OAn|=|OA1|+(n-1)

2

=

2

•n，能求出An

n，n

．
（2）由|BnBn+1|=

1

2

|Bn-1Bn|=(

1

2

)n-1，知|OBn|=|OB1|+|B1B2|+…+|Bn-1Bn|=1+[1+

1

2

+…+(

1

2

)n-2]=3-(

1

2

)n-2，由此能用n表示|B_nB_n+1|及點B_n的坐標．
（3）由∠An+1OBn+1=

π

4

，寫出四邊形A_nA_n+1B_n+1B_n的面積關于n的表達式S（n），并求出S（n）的最大值．

解答：解：（1）∵|OAn|=|OA1|+(n-1)

2

=

2

•n…（2分）
∴An

n，n

…（4分）
（2）|BnBn+1|=

1

2

|Bn-1Bn|=(

1

2

)n-1…（7分）
|OBn|=|OB1|+|B1B2|+…+|Bn-1Bn|=1+[1+

1

2

+…+(

1

2

)n-2]=3-(

1

2

)n-2，
∴Bn

3-( 1 2 )n-2，0)

…（10分）
（3）∠An+1OBn+1=

π

4

，
∴

S(n)= 1 2 [|OAn+1|•|OBn+1|-|OAn|•|OBn|]sin∠An+1OBn+1 = 2 4 [(n+1)• 2 •(3-( 1 2 )n-1)-n• 2 •(3-( 1 2 )n-2)] = 3 2 +(n-1)( 1 2 )n

…（14分）
∵S(n)-S(n-1)=

3-n

2n

，
∴n≥4時，S（n）單調遞減．
又S(1)=

3

2

，S(2)=

7

4

=S(3)＞S(4)=

27

16

．
∴n=2或3時，S（n）取得最大值

7

4

…（18分）

點評：本題考查數列與解析幾何的綜合應用，考查運算求解能力，推理論證能力；考查化歸與轉化思想．綜合性強，難度大，有一定的探索性，對數學思維能力要求較高，是高考的重點．解題時要認真審題，仔細解答．