Question

已知f（x）、g（x）都是定義在R上的函數(shù)，若存在實(shí)數(shù)m、n使得h（x）=m•f（x）+n•g（x），則稱h（x）為f（x）、g（x）在R上生成的函數(shù)．若f（x）=2cos²x-1，g（x）=sinx．
（1）判斷函數(shù)y=cosx是否為f（x）、g（x）在R上生成的函數(shù)，并說(shuō)明理由；
（2）記l（x）為f（x）、g（x）在R上生成的一個(gè)函數(shù)，若l(

π

6

)=2，且l（x）的最大值為4，求l（x）．

Answer 1

分析：（1）假設(shè)函數(shù)y=cosx是f（x）、g（x）在R上生成的函數(shù)，則存在實(shí)數(shù)m、n使得cosx=m（2cos²x-1）+nsinx，令x=0，得1=m+0①，令x=π，得-1=m②由①②進(jìn)行推導(dǎo)即可判定
（2）由題意可設(shè)l（x）=a（2cos²x-1）+bsinx（a，b∈R），則由l(

π

6

)=

1

2

a+

1

2

b=2，可得a+b=4，即l（x）=-2asin²x+（4-a）sinx+a，設(shè)t=sinx，則函數(shù)l（x）可化為：y=-2at²+（4-a）t+a，t∈[-1，1]，結(jié)合函數(shù)的性質(zhì)求解函數(shù)的最大值即可

解答：解：（1）函數(shù)y=cosx不是f（x）、g（x）在R上生成的函數(shù)．
理由：假設(shè)函數(shù)y=cosx是f（x）、g（x）在R上生成的函數(shù)，
則存在實(shí)數(shù)m、n使得cosx=m（2cos²x-1）+nsinx
令x=0，得1=m+0①
令x=π，得-1=m②
由①②矛盾知：函數(shù)y=cosx不是f（x）、g（x）在R上生成的函數(shù)
（2）設(shè)l（x）=a（2cos²x-1）+bsinx（a，b∈R）
則l(

π

6

)=

1

2

a+

1

2

b=2，∴a+b=4，∴l(xiāng)（x）=-2asin²x+（4-a）sinx+a
設(shè)t=sinx，則函數(shù)l（x）可化為：y=-2at²+（4-a）t+a，t∈[-1，1]
當(dāng)a=0時(shí)，函數(shù)化為：y=4t，t∈[-1，1]
∵當(dāng)t=1時(shí)，y_max=4∴l(xiāng)（x）=4sinx，符合題意
當(dāng)a＞0時(shí)，函數(shù)化為：y=-2a(t-

4-a

4a

)2+a+

(4-a)2

8a

當(dāng)

4-a

4a

≥1時(shí)，即0＜a≤

4

5

時(shí)
∵當(dāng)t=1時(shí)，y_max=4-2a
∴由4-2a=4得a=0，不符合a＞0舍去
當(dāng)-1＜

4-a

4a

＜1時(shí)，即a＞

4

5

或a＜-

4

3

（舍去）時(shí)
∵當(dāng)t=

4-a

4a

時(shí)，ymax=a+

(4-a)2

8a

∴由ymax=a+

(4-a)2

8a

=4，得a=4或a=

4

9

（舍去）
∴b=0∴l(xiāng)（x）=4（2cos²x-1），符合題意
當(dāng)

4-a

4a

≤-1時(shí)，即-

4

3

≤a＜0時(shí)，不符合a＞0舍去
當(dāng)a＜0時(shí)，函數(shù)y=-2a(t-

4-a

4a

)2+a+

(4-a)2

8a

的對(duì)稱軸t=

4-a

4a

＜0
∵當(dāng)t=1時(shí)，y_max=4-2a
∴由y_max=4-2a=4得a=0，不符合a＜0舍去
綜上所述，l（x）=4sinx或l（x）=4（2cos²x-1）

點(diǎn)評(píng)：本題以新定義為載體，主要考查了函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是靈活利用函數(shù)的性質(zhì)及邏輯推理的能力．