Question

已知△ABC的三個頂點坐標分別是A（4，1），B（3，4），C（-1，2），BD是∠ABC的平分線，求點D的坐標及BD的長．

Answer 1

分析：本題考查的知識點是線段的定比分點，處理的方法是：根據A，B，C三點的坐標，求出|BC|、AB|，再根據內角平分線定理，求出D分AC所成的比λ，再代入定比分點坐標公式，求出D點坐標，則易得BD的長．

解答：解：法一：由A（4，1），B（3，4），C（-1，2），
∴|BC|=2

5

，|AB|=

10

，
∴D分

AC

所成的比λ=

AD

DC

=

AB

BC

=

2

2

．
由定比分點坐標公式，得

xD= 4+ 2 2 ×(-1) 1+ 2 2 =9-5 2 yD= 1+ 2 1+ 2 2 = 2 .

∴D點坐標為（9-5

2

，

2

）．
∴|BD|=

(9-5 2 -3)2+( 2 -4)2

=

104-68 2

．
法二：設D（x，y），
∵BD是∠ABC的平分線，
∴＜

BA

，

BD

＞=＜

BC

，

BD

＞
∴

BA • BD

| BA || BD |

=

BC • BD

| BC |•| BD |

，
即

BA • BD

| BA |

=

BC • BD

| BC |

又

BA

=（1，-3），

BD

=（x-3，y-4），

BC

=（-4，-2）
∴

x-3-3y+12

10

=

-4x+12-2y+8

20

∴（4+

2

）x+（2-3

2

）y+9

2

-20=0．①
又A、D、C三點共線，∴

AD

，

AC

共線
又

AD

=（x-4，y-1），

AC

=（x+1，y-2）
∴（x-4）（y-2）=（x+1）（y-1）．②
由①②可解得

x=9-5 2 y= 2 .

∴D點坐標為（9-5

2

，

2

），|BD|=

104-68 2

點評：如果已知，有向線段A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．及點C分線段AB所成的比，求分點C的坐標，可將A，B兩點的坐標代入定比分點坐標公式：坐標公式

x= x1+λx2 1+λ y= y1+λy2 1+λ

進行求解．