Question

【題目】已知點F為拋物線E：y2＝2px（p＞0）的焦點，點A（2，m）在拋物線E上，且|AF|＝3，

（1）求拋物線E的方程；

（2）已知點G（﹣1，0），延長AF交拋物線E于點B，證明：以點F為圓心且與直線GA相切的圓，必與直線GB相切．

Answer 1

【答案】（1）y2＝4x；（2）證明見解析

【解析】

（1）由拋物線定義可得：|AF|＝23，解得p．即可得出拋物線E的方程．

（2）由點A（2，m）在拋物線E上，解得m，不妨取A，F（1，0），可得直線AF的方程，與拋物線方程聯立化為2x2﹣5x+2＝0，解得B．又G（﹣1，0），計算kGA，kGB，可得kGA+kGB＝0，∠AGF＝∠BGF，即可證明以點F為圓心且與直線GA相切的圓，必與直線GB相切．

解法一：（1）由拋物線定義可得：|AF|＝23，

解得p＝2．

∴拋物線E的方程為y2＝4x；

（2）∵點A（2，m）在拋物線E上，

∴m2＝4×2，

解得m，

不妨取A，F（1，0），

∴直線AF的方程：y＝2（x﹣1），

聯立，化為2x2﹣5x+2＝0，

解得x＝2或，B．

又G（﹣1，0），

∴kGA．kGB，

∴kGA+kGB＝0，

∴∠AGF＝∠BGF，∴x軸平分∠AGB，

因此點F到直線GA，GB的距離相等，

∴以點F為圓心且與直線GA相切的圓，必與直線GB相切．

解法二：（1）同解法一．

（2）點A（2，m）在拋物線E上，

∴m2＝4×2，解得m，不妨取A，F（1，0），

∴直線AF的方程：y＝2（x﹣1），

聯立，化為2x2﹣5x+2＝0，

解得x＝2或，B．

又G（﹣1，0），

可得直線GA，GB的方程分別為：x﹣3y+20，0，

點F（1，0）到直線GA的距離d，

同理可得點F（1，0）到直線GB的距離．

因此以點F為圓心且與直線GA相切的圓，必與直線GB相切．