Question

如圖，已知直四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的底面是邊長為2、∠ADC=120°的菱形，Q是側棱DD₁（DD₁＞）延長線上的一點，過點Q、A₁、C₁作菱形截面QA₁PC₁交側棱BB₁于點P．設截面QA₁PC₁的面積為S₁，四面體B₁-A₁C₁P的三側面△B₁A₁C₁、△B₁PC₁、△B₁A₁P面積的和為S₂，S=S₁-S₂．
（Ⅰ）證明：AC⊥QP；
（Ⅱ）當S取得最小值時，求cos∠A₁QC₁的值．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）要證明：AC⊥QP；只要證明AC垂直平面PCDQ即可．也就是證明AC垂直平面內的相交直線即可．
（Ⅱ）設O是A₁C₁與QP的交點，QD₁=x、QO=y，則x²+1=y²，利用S=S₁-S₂．表示出面積S，當S取得最小值時，求出x的值，然后求cos∠A₁QC₁的值．
解答：解：（Ⅰ）連AC、BD，則AC⊥BD；
∵PB⊥底面ABCD，則AC⊥BP，∴AC⊥平面QPBD．
而QP?平面QPBD，∴AC⊥QP．（4分）

（Ⅱ）設O是A₁C₁與QP的交點，QD₁=x、QO=y，則x²+1=y²，S=S₁-S₂
==．（8分）
∵令，則，
∴當即時，S取得最小值．（11分）
此時，，由余弦定理有cos∠A₁QC₁=．（13分）
點評：本題考查棱柱的結構特征，余弦定理，是中檔題．