Question

在△ABC中，a，b，c分別是角A、B、C的對邊，

m

=（b，2a-c），

n

=（cosB，cosC），且

m

∥

n

（1）求角B的大小；
（2）設f（x）=cos（ωx-

B

2

）+sinx（ω＞0），且f（x）的最小正周期為π，求f（x）在區間[0，

π

2

]上的最大值和最小值．

Answer 1

分析：（1）要求B角的大小，要先確定B的一個三角函數值，再確定B的取值范圍
（2）要求三角函數的最值，要先將其轉化為正弦型函數的形式，再根據正弦型函數的性質解答．

解答：解：（1）由m∥n，得bcosC=（2a-c）cosB，
∴bcosC+ccosB=2acosB．
由正弦定理，得sinBcosC+sinCcosB=2sinAcosB，
∴sin（B+C）=2sinAcosB．
又B+C=π-A，
∴sinA=2sinAcosB．
又sinA≠0，∴cosB=

1

2

．
又B∈（0，π），∴B=

π

3

．
（2）f(x)=cos(ωx-

π

6

)+sinωx=

3

2

cosωx+

3

2

sinωx=

3

sin(ωx+

π

6

)
由已知

2π

ω

=π，∴ω=2.f(x)=

3

sin(2x+

π

6

)
當x∈[0，

π

2

]時，2x+

π

6

∈[

π

6

，

7π

6

]，sin(2x+

π

6

)∈[-

1

2

，1]
因此，當2x+

π

6

=

π

2

，即x=

π

6

時，f(x)取得最大值

3

；
當2x+

π

6

=

7π

6

，即x=

π

2

時，f(x)取得最小值-

3

2

點評：①能夠轉化為y=Asin（ωx+φ）+B型的函數，求值域（或最值）時注意A的正負號；②能夠化為y=asin2x+bsinx+c或y=acos2x+bcosx+c型或可化為此型的函數求值，一般轉化為二次函數在給定區間上的值域問題．