Question

在平面直角坐標系xOy中，O是坐標原點，設函數f（x）=k（x-2）+3的圖象為直線l，且l與x軸、y軸分別交于A、B兩點，給出下列四個命題：
①存在正實數m，使△AOB的面積為m的直線l僅有一條；
②存在正實數m，使△AOB的面積為m的直線l僅有兩條；
③存在正實數m，使△AOB的面積為m的直線l僅有三條；
④存在正實數m，使△AOB的面積為m的直線l僅有四條．
其中所有真命題的序號是（ ）
A．①②③
B．③④
C．②④
D．②③④

Answer 1

【答案】分析：根據直線方程求出直線在兩坐標軸上的截距，再構造以斜率k為自變量，S_△是變量k的函數，利用均值不等式求函數最小值方法，分k＞0和k＜0兩種情況討論存在直線的條件，再分析求解．
解答：解：∵直線y=k（x-2）+3與x軸，y軸交點的坐標分別是，A（2-，0），B（0，3-2k）．
S_△=×|2-|×|3-2k|=×．
當k＞0時，S_△=×=×（4k+-12），
∵4k+≥2=12，當且僅當k=時取等號．
∴當S_△=m＞0時，在k＞0時，k有兩值；
當k＜0時，S_△=×=×=×[（-4k+）+12]，
∵-4k+≥2=12．當且僅當k=-時取等號．
當m＞12時，在k＜0時，k有兩值．；
∴當 m=0時，僅有一條直線使△AOB的面積為m，∴①不正確；
當0＜m＜12時，僅有兩條直線使△AOB的面積為m，∴②正確；
當m=12時，僅有三條直線使△AOB的面積為m，∴③正確；
當m＞12時，僅有四條直線使△AOB的面積為m，∴④正確．
故選D
點評：本題借助考查命題的真假判定，考查直線與坐標軸圍成的△的面積問題．S_△的面積可根據直線在坐標軸上的截距求得．在本題中根據斜率k取值的個數來確定直線存在的條數，這是解決此類題的常用方法．