【題目】已知函數
與
的圖象在它們的交點
處具有相同的切線.
（1）求
的解析式；
（2）若函數
有兩個極值點
，
，且
，求
的取值范圍.
【答案】（1）
；（2）
【解析】
（1）求得兩個函數的導數，由公切線的斜率相同可得
的方程；將切點代入兩個函數，可得的方程；聯立兩個方程即可求得
的值，進而得
的解析式；
（2）將的解析式代入并求得
，由極值點定義可知
，
是方程
的兩個不等實根，由韋達定理表示出
，結合
可得
.代入
中化簡，分離參數并構造函數
，求得
并令
求得極值點，由極值點兩側符號判斷單調性，并求得最小值，代入端點值求得最大值，即可求得的取值范圍.
（1）根據題意，函數
與
可知
，
，
兩圖象在點
處有相同的切線，
所以兩個函數切線的斜率相等，即
，化簡得
，
將代入兩個函數可得
，
綜合上述兩式可解得
，
所以.
（2）函數
，定義域為
，
，
因為，為函數
的兩個極值點，
所以，是方程的兩個不等實根，
由根與系數的關系知
，
，
又已知，所以，
，
將式代入得
，
令，
，
，令，解得
，
當
時，
，
在
單調遞減；
當
時，
，在
單調遞增；
所以
，
，
，
即的取值范圍是.
科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，在平面直角坐標系xOy中，點
在拋物線
上，直線
與拋物線C交于A，B兩點，且直線OA，OB的斜率之和為
．
（1）求a和k的值；
（2）若
，設直線
與y軸交于D點，延長MD與拋物線C交于點N，拋物線C在點N處的切線為n，記直線n，與x軸圍成的三角形面積為S．求S的最小值．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某大學對參加“社會實踐活動”的全體志愿者進行學分考核，因該批志愿者表現良好，大學決定考核只有合格和優秀兩個等次，若某志愿者考核合格，授予
個學分；考核優秀，授予
個學分，假設該大學志愿者甲、乙、丙考核優秀的概率為
、
、
.他們考核所得的等次相互獨立.
（1）求在這次考核中，志愿者甲、乙、丙三人中至少一名考核為優秀的概率；
（2）記在這次考核中甲、乙、丙三名志愿者所得學分之和為隨機變量
，求隨機變量的分布列.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖所示，在棱錐P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD為直角梯形，PA=AD=DC=2，AB=4且AB∥CD，∠BAD=90°.
（1）求證：BC⊥PC；
（2）求PB與平面PAC所成角的正弦值.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某學生為了測試煤氣灶燒水如何節省煤氣的問題設計了一個實驗，并獲得了煤氣開關旋鈕旋轉的弧度數
與燒開一壺水所用時間
的一組數據，且作了一定的數據處理(如下表)，得到了散點圖(如下圖).
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1.47 | 20.6 | 0.78 | 2.35 | 0.81 | -19.3 | 16.2 |
表中
.
（1）根據散點圖判斷，
與
哪一個更適宜作燒水時間
關于開關旋鈕旋轉的弧度數
的回歸方程類型?(不必說明理由)
（2）根據判斷結果和表中數據，建立關于的回歸方程；
（3）若旋轉的弧度數與單位時間內煤氣輸出量
成正比，那么為多少時，燒開一壺水最省煤氣？
附：對于一組數據
，
，
，其回歸直線
的斜率和截距的最小二乘估計分別為
，
.
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