Question

【題目】已知函數．

（1）證明：函數在區間存在唯一的極小值點，且；

（2）證明：函數有且僅有兩個零點．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析.

【解析】

（1）求出，再說明在區間單調遞增，且，即可。

（2）驗證，即是函數的一個零點；說明當無零點；當時有且僅有一個零點。即得證。

證明：（1）由．

令，當時，函數為增函數，指數函數也為增函數，故當時，函數為增函數．

又因為，可得，有，

，故存在唯一的使得．

所以當時，即；當時，，即，所以函數在區間上單調遞減，在區間上單調遞增，

所以函數在區間存在唯一的極小值點，且．

（2）①由，可得是函數的一個零點；

②當時，，，可得，此時函數沒有零點；

③當時，由．

由（1）知，可得函數在區間上有且僅有一個零點．

綜上，函數有且僅有兩個零點．