Question

已知：正四棱柱ABCD—A₁B₁C₁D₁中，底面邊長為2，側棱長為4，E、F分別為棱AB、BC的中點.
（1）求證：平面B₁EF⊥平面BDD₁B₁；
（2）求點D₁到平面B₁EF的距離.

Answer 1

(1)證明略 (2)

（1） 建立如圖所示的空間直角坐標系，則D（0，0，0），

B（2，2，0），E（2，，0），
F（，2，0），D₁（0，0，4），
B₁（2，2，4）.
=（-，，0），=（2，2，0），=（0，0，4），
∴·=0，·=0.
∴EF⊥DB，EF⊥DD₁，DD₁∩BD=D，
∴EF⊥平面BDD₁B₁.
又EF平面B₁EF，∴平面B₁EF⊥平面BDD₁B₁.
（2） 由（1）知=（2，2，0），
=（-，，0），=（0，-，-4）.
設平面B₁EF的法向量為n,且n=(x,y,z)
則n⊥,n⊥
即n·=（x，y，z）·（-，，0）=-x+y=0，
n·=（x，y，z）·（0，-，-4）=-y-4z=0，
令x=1,則y=1,z=-,∴n="(1,1,-" )
∴D₁到平面B₁EF的距離
d===.