Question

【題目】已知函數f（x）＝ln（x＋1）＋ax2－x．

（Ⅰ）討論f（x）在[0，＋∞）上的單調性；

（Ⅱ）若函數g（x）＝f（x）＋x有兩個極值點x1，x2，且x1＜x2，求證:g（x2）＞－ln2．

Answer 1

【答案】（1）當a≤0時，f（x）在上單調遞減；當時，f（x）在上單調遞增；

當時，f（x）在上單調遞減，f（x）在上單調遞增；

（2）見解析.

【解析】

（Ⅰ）先對函數求導得，再對a分類討論得到f（x）在[0，＋∞）上的單調性. （Ⅱ）先求導，設，得到g（x）在取得極大值，在取得極小值.求出，設，所以.

（Ⅰ）解：，設，

①當a≤0時，h（x）＜0，∴f（x）在上單調遞減；

②當2a-1≥0，即時，h（x）≥0，∴f（x）在上單調遞增；

③當2a-1＜0，即時，時，h（x）＜0，∴f（x）單調遞減；

時，h（x）＞0，∴f（x）單調遞增.

綜上所述，當a≤0時，f（x）在上單調遞減；

當時，f（x）在上單調遞增；

當時，f（x）在上單調遞減，f（x）在上單調遞增.

（Ⅱ）證明：，

，設，

①若 a＝0，，∴g（x）在上單調遞增，不合題意；

② 若a＜0，∵，∴在上只有一個根，不合題意；

③ 若a＞0，使有兩不同實根，且，只需，即a＞2.

∵，，∴，

∴g（x）在上單調遞增，在上單調遞減，在上單調遞增，

∴g（x）在取得極大值，在取得極小值.

∵，

∴，

設，∴m（t）在上是增函數，

∴，∴.