Question

已知函數f（x）=x²+ax-lnx，a∈R．
（1）若函數f（x）在[1，2]上是減函數，求實數a的取值范圍；
（2）令g（x）=f（x）-x²，是否存在實數a，當x∈（0，e]（e是自然常數）時，函數g（x）的最小值是3，若存在，求出a的值；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（1）由函數f（x）在[1，2]上是減函數得f′(x)=2x+a-

1

x

=

2x2+ax-1

x

≤0在[1，2]上恒成立，即有h（x）=2x²+ax-1≤0成立求解．
（2）先假設存在實數a，求導得g′(x)=a-

1

x

=

ax-1

x

，a在系數位置對它進行討論，結合x∈（0，e]分當a≤0時，當0＜

1

a

＜e時，當

1

a

≥e時三種情況進行．

解答：解：（1）f′(x)=2x+a-

1

x

=

2x2+ax-1

x

≤0在[1，2]上恒成立，
令h（x）=2x²+ax-1，
有

h(1)≤0 h(2)≤0

得

a≤-1 a≤- 7 2

，
得a≤-

7

2

（6分）
（2）假設存在實數a，使g（x）=ax-lnx（x∈（0，e]）有最小值3，g′(x)=a-

1

x

=

ax-1

x

（7分）
當a≤0時，g（x）在（0，e]上單調遞減，g（x）_min=g（e）=ae-1=3，a=

4

e

（舍去），
∴g（x）無最小值．
當0＜

1

a

＜e時，g（x）在(0，

1

a

)上單調遞減，在(

1

a

，e]上單調遞增
∴g(x)min=g(

1

a

)=1+lna=3，a=e²，滿足條件．（11分）
當

1

a

≥e時，g（x）在（0，e]上單調遞減，g（x）_min=g（e）=ae-1=3，a=

4

e

（舍去），
∴f（x）無最小值．（13分）
綜上，存在實數a=e²，使得當x∈（0，e]時g（x）有最小值3．（14分）

點評：本題主要考查轉化化歸、分類討論等思想的應用，函數若為單調函數，則轉化為不等式恒成立問題，解決時往往又轉化求函數最值問題．