Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系xOy中，已知直線l：x－y－2＝0，拋物線C：y2＝2px(p>0).

(1)若直線l過拋物線C的焦點，求拋物線C的方程；

(2)當p＝1時，若拋物線C上存在關于直線l對稱的相異兩點P和Q.求線段PQ的中點M的坐標.

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】試題分析：（1）由點在直線上，得，即.，從而可求得拋物線方程；（2）當時，曲線.設， ，線段的中點，由點和關于直線對稱，可得直線的斜率為，設其方程為，由，可得，根據韋達定理可得的坐標.

試題解析：（1）拋物線的焦點為

由點在直線上，

得，即.

所以拋物線的方程為.

（2）當時，曲線.

設， ，線段的中點

因為點和關于直線對稱，所以直線垂直平分線段，

于是直線的斜率為-1，設其方程為，

由，消去得，

由和是拋物線的兩相異點，得，

從而，

因此，所以，

又在直線上，所以

所以點，此時滿足式，

故線段的中點的坐標為.