Question

已知a₁=1,a₂=4,a_n+2=4a_n+1+a_n,b_n=,n∈N₊.
(1)求b₁,b₂,b₃的值.
(2)設c_n=b_nb_n+1,S_n為數列{c_n}的前n項和,求證: S_n≥17n.
(3)求證:|b_2n-b_n|<·.

Answer 1

(1)   (2) (3)見解析

(1)因為a₁=1,a₂=4,a₃=4a₂+a₁=17,a₄=72,所以b₁=4,b₂=,b₃=.
(2)由a_n+2=4a_n+1+a_n
得=4+,
即b_n+1=4+.
所以當n≥2時,b_n>4,于是c₁=b₁b₂=17,c_n=b_nb_n+1=4b_n+1>17(n≥2),
所以S_n=c₁+c₂+…+c_n≥17n.
(3)當n=1時,結論|b₂-b₁|=<成立.
當n≥2時,有|b_n+1-b_n|=|4+-4-|=
||≤|b_n-b_n-1|≤|b_n-1-b_n-2|≤…
≤|b₂-b₁|=.
所以|b_2n-b_n|≤|b_n+1-b_n|+|b_n+2-b_n+1|+…+|b_2n-b_2n-1|≤×[()^n-1+()ⁿ+…+()^2n-2]
=·<·(n≥2).
因此|b_2n-b_n|<·(n∈N₊).