Question

設x₁，x₂分別是函數f（x）=-2x³+3（1-2a）x²+12ax-1的極小值點和極大值點．已知

x

2 1

=x₂，求a的值及函數的極值．

Answer 1

分析：求導函數，利用x₁，x₂分別是函數的極小值點和極大值點，結合韋達定理及

x

2 1

=x₂，可得函數解析式，確定函數的單調性，進而可求函數的極值．

解答：解：求導函數可得：f′（x）=-6x²+6（1-2a）x+12a，
∵x₁，x₂分別是函數的極小值點和極大值點
∴x₁+x₂=1-2a，x₁x₂=-2a，所以x₁+x₂-x₁x₂=-1-2a+2a=1，即（x₁-1）+x₂（1-x₁）=0，
所以（x₁-1）（1-x₂）=0
∵

x

2 1

=x₂，
∴x₁=1，
∴x₂=1，a=

1

2

∴f（x）=-2x³+6x-1，f′（x）=-6（x+1）（x-1），
令f′（x）＞0可得-1＜x＜1，令f′（x）＜0可得x＜-1或x＞1，
∴函數在（-1，1）上單調增，在（-∞，-1），（1，+∞）上單調減
∴當x=-1時，函數取得極小值f（-1）=2-6-1=-5；當x=1時，函數取得極大值f（1）=-2+6-1=3．

點評：本題考查導數知識的運用，考查函數的解析式，解題的關鍵是根據函數的極值點確定函數的解析式．