Question

【題目】已知二次函數f（x）的最小值為1，且f（0）＝f（2）＝3．

（1）求f（x）的解析式；

（2）若f（x）在區間[2a，a+1]上不單調，求實數a的取值范圍；

（3）在區間[﹣1，1]上，y＝f（x）的圖象恒在y＝2x+2m+1的圖象上方，試確定實數m的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）.

【解析】

（1）根據題意，設，根據，求得，即可得到函數的解析式；

（2）由函數在區間上不單調，利用二次函數的性質，得到，即可求解；

（3）把區間上，的圖象恒在的圖象上方，轉化為不等式在區間上恒成立，令，結合二次函數的性質，即可求解.

（1）由題意，函數是二次函數，且，可得函數對稱軸為，

又由最小值為1，可設，

又，即，解得，

所以函數的解析式為.

（2）由（1）函數的對稱軸為，

要使在區間上不單調，則滿足，解得，

即實數的取值范圍是.

（3）由在區間上，的圖象恒在的圖象上方，

可得在區間上恒成立，

化簡得在區間上恒成立，

設函數，

則在區間上單調遞減

∴在區間上的最小值為，

∴.