Question

設(shè)復(fù)數(shù)z₁，z₂在復(fù)平面上（O為原點）對應(yīng)的點分別為Z₁（sinθ，1），Z₂（1，cosθ），其中-

π

2

＜θ＜

π

2

，
（1）若

oz1

⊥

0z2

，求θ；
（2）若

oz

=

oz1

+

0z2

，求點Z的軌跡的普通方程；并作出軌跡示意圖．
（3）求|OZ₁+OZ₂|的最大值．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)兩個向量之間的垂直關(guān)系，得到對應(yīng)的向量的數(shù)量積等于0，得到關(guān)于三角函數(shù)的等式，求出正切值，根據(jù)角的范圍得到角的大小．
（2）根據(jù)復(fù)數(shù)相等的充要條件，寫出復(fù)數(shù)的實部和虛部分別相等，得到關(guān)于三角函數(shù)的等式，去掉字母參數(shù)，得到圓的方程，根據(jù)三角函數(shù)做出x，y的范圍，畫出圖形．
（3）要求模長的最值．需要根據(jù)所給的復(fù)數(shù)的表示形式，求出復(fù)數(shù)的模長的表示式，根據(jù)三角函數(shù)的最值的求法，得到復(fù)數(shù)的模長的最值．

解答：2解（1）∵由

oz1

⊥

0z2

，知

oz1

•

0z2

=0
∴sinθ+cosθ=0
∴tanθ=-1      
∵-

π

2

＜θ＜

π

2

∴θ=

π

4

（2）設(shè)Z（x，y）
則有（x，y）=（sinθ，1）+（1，cosθ）        
=（1+sinθ，1+cosθ）
∴

x=1+sinθ y=1+cosθ

，中-

π

2

＜θ＜

π

2

消去θ得：（x-1）²+（y-1）²=1（1＜y≤2）
（3）|OZ₁+OZ₂|=

(1+sinθ)2+(1+cosθ)2

3+2 2 sin(θ+ π 4 )

∵-

π

2

＜θ＜

π

2

∴-

π

4

＜θ+

π

4

＜

3π

4

       
∴-

2

2

＜sin(θ+

π

4

)≤1
可求得|OZ₁+OZ₂|的最大值為

2

+1

點評：本題考查復(fù)數(shù)與向量的綜合題目，考查復(fù)數(shù)的幾何意義，考查三角函數(shù)的最值和恒等變形，本題解題的關(guān)鍵是題目的每一個環(huán)節(jié)都不是難題，但是容易在這種小的細節(jié)處出錯，本題是一個易錯題．