Question

【題目】如圖，A，B，C，D為空間四點．在△ABC中，AB=2，AC=BC= ．等邊三角形ADB以AB為軸運動．

（1）當平面ADB⊥平面ABC時，求CD；
（2）當△ADB轉動時，是否總有AB⊥CD？證明你的結論．

Answer 1

【答案】
（1）解：取AB的中點E，連接DE，CE，

因為ADB是等邊三角形，所以DE⊥AB．

當平面ADB⊥平面ABC時，

因為平面ADB∩平面ABC=AB，

所以DE⊥平面ABC，

可知DE⊥CE

由已知可得 ，在Rt△DEC中， ．

（2）解：當△ADB以AB為軸轉動時，總有AB⊥CD．

證明：（ⅰ）當D在平面ABC內時，因為AC=BC，AD=BD，

所以C，D都在線段AB的垂直平分線上，即AB⊥CD．

（ⅱ）當D不在平面ABC內時，由（Ⅰ）知AB⊥DE．又因AC=BC，所以AB⊥CE．

又DE，CE為相交直線，所以AB⊥平面CDE，由CD平面CDE，得AB⊥CD．

綜上所述，總有AB⊥CD．

【解析】（1）取出AB中點E，連接DE，CE，由等邊三角形ADB可得出DE⊥AB，又平面ADB⊥平面ABC，故DE⊥平面ABC，在Rt△DEC中用勾股定理求出CD．（2）總有AB⊥CD，當D∈面ABC內時，顯然有AB⊥CD，當D在而ABC外時，可證得AB⊥平面CDE，定有AB⊥CD．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解平面與平面垂直的性質的相關知識，掌握兩個平面垂直，則一個平面內垂直于交線的直線與另一個平面垂直．