Question

已知數列{x_n}中，x1=1，xn+1=1+

xn

p+xn

(n∈N*，p是正常數)．
（Ⅰ）當p=2時，用數學歸納法證明xn＜

2

(n∈N*)
（Ⅱ）是否存在正整數M，使得對于任意正整數n，都有x_M≥x_n．

Answer 1

分析：（Ⅰ）求出p=2時的表達式，利用數學歸納法的證明步驟，證明不等式，（1）驗證n=1不等式成立；（2）假設n=k時成立，證明n=k+1時成立．
（Ⅱ）（1）驗證n=1不等式成立；（2）假設n=k時成立，證明n=k+1時成立．

解答：證明：由x₁=1，xn+1=1+

xn

p+xn

知，x_n＞0（n∈N^*），
（Ⅰ）當p=2時，xn+1=1+

xn

2+xn

，
（1）當n=1時，x₁=1＜

2

，命題成立．
（2）假設當n=k時，xk＜

2

，
則當n=k+1時，xk+1=1+

xk

2+xk

=2-

2

2+xk

＜2-

2

2+ 2

=

2

，
即n=k+1時，命題成立．
根據（1）（2），xn＜

2

（n∈N^*）．（4分）
（Ⅱ）用數學歸納法證明，x_n+1＞x_n（n∈N^*）．
（1）當n=1時，x2=1+

x1

p+x1

＞1=x₁，命題成立．
（2）假設當n=k時，x_k+1＞x_k，
∵x_k＞0，p＞0，
∴

p

p+xk+1

＜

p

p+xk

，
則當n=k+1時，xk+1=1+

xk

p+xk

=2-

p

p+xk

＜2-

p

p+xk+1

=xk+2，
即n=k+1時，命題成立．
根據（1）（2），x_n+1＞x_n（n∈N^*）．（8分）
故不存在正整數M，使得對于任意正整數n，都有x_M≥x_n．（10分）

點評：本題是中檔題，考查數學歸納法的證明步驟，注意證明的過程兩步驟缺一不可，注意形式的一致性，考查計算能力．