Question

（本小題滿分16分）
已知等差數列{a_n}的首項a₁＝1，公差d＞0，且其第二項、第五項、第十四項分別是等比數列{b_n}的第二、三、四項．
（1）求數列{a_n}與{b_n}的通項公式；
（2）令數列{c_n}滿足：c_n＝，求數列{c_n}的前101項之和T₁₀₁；
（3）設數列{c_n}對任意w*w^w.k&s#5@u.c~o*mn∈N*，均有＋＋…＋＝a_n+1成立，求c₁＋c₂＋…＋c₂₀₁₀的值．

Answer 1

解：（1）由題意得：(a₁＋d)(a₁＋13d)＝(a₁＋4d)²(d＞0)，
解得d＝2，∴a_n＝2n－1．∴b₂＝a₂＝3, b₃＝a₅＝9∴b_n＝3^n-1
（2）∵a₁₀₁＝201，b₂＝3
∴T₁₀₁＝(a₁＋a₃＋…＋a₁₀₁)＋(b₂＋b₄＋…＋b₁₀₀)＝＋
＝5151＋
（3）當n≥2時，由＝＋＋…＋－(＋＋…＋)＝a_n+1－a_n＝2
得c_n＝2b_n＝2·3^n-1，
當n＝1時，c₁＝3．故c_n＝
故c₁＋c₂＋…＋c₂₀₁₀＝3＋2×3＋2×3²＋…＋2×3²⁰⁰⁹＝3²⁰¹⁰．