Question

【題目】在中，，AC，AB邊上的中線長(zhǎng)之和等于9．

（1）求重心M的軌跡方程；

（2）求頂點(diǎn)A的軌跡方程.

Answer 1

【答案】（1）1（y≠0）；（2）1（y≠0）

【解析】

（1）由已知得△ABC重心M在以B、C為兩個(gè)焦點(diǎn)的橢圓，由此能求出△ABC重心M的軌跡方程．

（2）利用代入法，即可求頂點(diǎn)A的軌跡方程．

（1）如圖所示，以線段BC所在直線為x軸、線段BC的中垂線為y軸建立直角坐標(biāo)系

設(shè)M為△ABC的重心，BD是AC邊上的中線，CE是AB邊上的中線，由重心的性質(zhì)知|BM||BD|，|CM||CE|，于是|MB|+|MC||BD||CE|＝6

根據(jù)橢圓的定義知，點(diǎn)M的軌跡是以B、C為焦點(diǎn)的橢圓．2a＝6，2c＝4，

∴a＝3，b，

故所求的橢圓方程為1（y≠0）

（2）設(shè)A（x，y），則M（x，），代入1（y≠0），

可得出頂點(diǎn)A的軌跡方程為1（y≠0）