Question

判斷函數f(x)=

2x

x-1

在區間(1，+∞)上的單調性，并用定義證明．

Answer 1

分析：任取1＜x₁＜x₂，我們構造出f（x₂）-f（x₁）的表達式，根據實數的性質，我們易出f（x₂）-f（x₁）的符號，進而根據函數單調性的定義，得到答案．

解答：解：函數f(x)=

2x

x-1

在區間(1，+∞)是單調減函數．理由如下：
設1＜x₁＜x₂，f（x₂）-f（x₁）=

2x2

x2-1

-

2x1

x1-1

=

-2(x1+x2)

(x1-1)(x2-1)

因為1＜x₁＜x₂，所以x₁+x₂＞0，x₁-1＞0，x₂-1＞0，
所以f（x₂）-f（x₁）＜0，即f（x₂）＜f（x₁）
所以f(x)=

2x

x-1

在區間(1，+∞)是單調減函數．

點評：本題考查的知識點是函數單調性的判斷與證明，其中作差法（定義法）證明函數的單調性是我們中學階段證明函數單調性最重要的方法，一定要掌握其解的格式和步驟．