Question

（2007•煙臺(tái)三模）已知向量

a

=（1，1），向量

b

與向量

a

的夾角為

3

4

π，且

a

•

b

=-1．
（1）求向量

b

；
（2）若向量

b

與

q

=（1，0）的夾角為

π

2

，向量

p

=（cosA，2cos²

C

2

），其中A，C為△ABC的內(nèi)角，且A+C=

2

3

π，求|

b

+

p

|的最小值．

Answer 1

分析：（1）設(shè)

b

=（x，y），由

a

•

b

=-1，可得x+y=-1．再由

a

•

b

=|

a

||

b

|cos

3π

4

，化簡(jiǎn)可得 x²+y²=1，求得x、y的值，可得

b

的值．
（2）由條件可得

b

=（0，-1），又因?yàn)?

b

+

q

=（cosA，cosC），求得|

b

+

q

|²=1+

1

2

cos（2A+

π

3

）．結(jié)合A的范圍，可得|

b

+

p

|取得最小值．

解答：解：（1）設(shè)

b

=（x，y），

a

•

b

=-1，可得x+y=-1．  ①…（2分）
又

b

與

a

的夾角為

3π

4

，所以

a

•

b

=|

a

||

b

|cos

3π

4

，化簡(jiǎn)可得 x²+y²=1． ②
由①②解得

x=-1 y=0

，或

x=0 y=-1

，
故

b

=（-1，0），或

b

=（-1，0）．…（6分）
（2）由向量

b

與

q

垂直知

b

=（0，-1），由 A+C=

2π

3

可得 0＜A＜

2π

3

．…（8分）
又因?yàn)?

b

+

q

=（cosA，2cos2

C

2

-1）=（cosA，cosC），
所以|

b

+

q

|²=cos²A+cos²C=

1+cos2A

2

+

1+cos2C

2

=1+

1

2

[cos2A+cos（

4π

3

-2A）]
=1+

1

4

cos2A-

3

4

sin2A=1+

1

2

cos（2A+

π

3

）．
再由

π

3

＜A+

π

3

＜

5π

3

，可得當(dāng)A+

π

3

=π時(shí)，|

b

+

p

|取得最小值為

1- 1 2

=

2

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查兩個(gè)向量的數(shù)量積公式，三角函數(shù)的恒等變換及化簡(jiǎn)求值，屬于中檔題．