Question

（2012•臺州一模）已知函數f(x)=2cosxsin(x+

π

3

)-

3

sin2x+sinxcosx．
（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）在面積為

3

的△ABC中，若角A為銳角，f（A）=0，求A所對的邊的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根據三角函數的恒等變換化簡求f（x）的解析式為2sin（2x+

π

3

），從而求得它的最小正周期．
（Ⅱ）在面積為

3

的△ABC中，由角A為銳角，f（A）=0，求得A和bc的值，再由余弦定理可得 a²=b²+c²-bc≥bc=4，從而得到a的范圍．

解答：解：（Ⅰ）因為f(x)=2cosx(

1

2

sinx+

3

2

cosx)-

3

sin2x+sinxcosx…（1分）
=sin2x+

3

cos2x=2sin(2x+

π

3

)，…（5分）
所以周期T=π．…（7分）
（Ⅱ）因為0＜A＜

π

2

，所以

π

3

＜2A+

π

3

＜

4π

3

．…（8分）
由f(A)=0?sin(2A+

π

3

)=0，…（9分）
所以2A+

π

3

=π，即A=

π

3

．…（10分）
因為S△ABC=

1

2

bcsinA=

3

，…（11分）
所以bc=4…（12分）
又因為由余弦定理可得 a²=b²+c²-bc≥bc=4，…（13分）
所以a≥2．…（14分）

點評：本題主要考查三角函數的恒等變換及化簡求值，三角函數的周期性和求法，基本不等式的應用，屬于中檔題．