Question

【題目】選修4-5：不等式選講

已知函數，

（1）當時，求不等式的解集；

（2）若不等式的解集為空集，求實數的取值范圍.

Answer 1

【答案】(1) [0，4]；(2) [3，+∞）∪（﹣∞，﹣1]．

【解析】試題分析: （1）利用絕對值不等式的解法，去掉絕對值，求解即可．

（2）問題轉化為 ，利用絕對值三角不等式直接求解即可．

試題解析：

（Ⅰ）當a=3時，f（x）=|x﹣3|+|x﹣1|，

即有f（x）=，

不等式f（x）≤4即為或或，

即有0≤x＜1或3≤x≤4或1≤x＜3，

則為0≤x≤4，

則解集為[0，4]；

（Ⅱ）依題意知，f（x）=|x﹣a|+|x﹣1|≥2恒成立，

∴2≤f（x）min；

由絕對值三角不等式得：f（x）=|x﹣a|+|x﹣1|≥|（x﹣a）+（1﹣x）|=|1﹣a|，

即f（x）min=|1﹣a|，

∴|1﹣a|≥2，即a﹣1≥2或a﹣1≤﹣2，

解得a≥3或a≤﹣1．

∴實數a的取值范圍是[3，+∞）∪（﹣∞，﹣1]．