Question

設函數f(x)＝log_a(a^x＋)．(1)判斷函數f(x)的奇偶性；
(2)判斷函數f(x)在(0，＋∞)的單調性并證明．

Answer 1

(1)由已知f(x)的定義域為R……1分，所以f(－x)＝log_a(a^－x＋)＝f(x)，故f(x)為偶函數………4分．
(2)設h(x)＝a^x＋，當a＞1時，令x₁＞x₂＞0，故h(x₁)＞h(x₂)，log_ah(x₁)＞log_ah(x₂)，即f(x₁)＞f(x₂)，當a＞1時，f(x)在(0，＋∞)上是增函數…………10分．
同理可證當0＜a＜1時，f(x)在(0，＋∞)上是減函數

略